Anni 70 e 80. Il Gioco del 15 è tra i rompicapi preferiti, ma è davvero sempre risolvibile?

Molto tempo prima del Cubo di Rubik c’è stato un altro rompicapo che a tutti è capitato di provare a risolvere almeno una volta nella vita. Si tratta del Gioco del 15, quella tavoletta quadrata su cui si facevano scorrere delle piastrelle numerate, cercando di essere più rapidi possibile nel ricostruire la sequenza numerica da 1 a 15. Non tutti sanno però che ne è esistita una versione non risolvibile…

Il Gioco del 15 

Reso celebre da Samuel Loyd (1841-1911), famoso compositore di problemi di scacchi e enigmi matematici, fu in realtà creato nel 1874 da Noyes Palmer Chapman (1811-1889), un postino di un piccolo villaggio dello Stato di New York.

La versione risolvibile…

Nella sua versione classica il gioco consiste in una tavoletta quadrata di 4 righe per 4 colonne in cui 15 tessere numerate devono essere spostate per ricreare la composizione che ristabilisce la corretta progressione numerica. Gli spostamenti sono limitati dal fatto di poter avvenire solo in verticale e orizzontale a partire dall’unica casella lasciata libera.

…e quella irrisolvibile

Loyd descrisse il Fifteen puzzle nel suo libro  Sam Loyd’s Cyclopaedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums e mise in palio mille dollari come premio per chi fosse riuscito a risolvere una versione del gioco partendo da una posizione identica a quella finale, ma con i numeri 14 e 15 scambiati. 
Ma lo U.S. Patent Office chiese a Loyd una dimostrazione della soluzione del gioco e ciò lo costrinse ad ammettere pubblicamente che partendo da questa configurazione iniziale il gioco non è risolvibile.

Permutazioni pari e dispari

È infatti dimostrabile matematicamente che tutte le permutazioni possibili dei 15 numeri si dividono in due categorie (pari o dispari) e che utilizzando esclusivamente le mosse legittime del gioco si possono raggiungere tutte e solo le posizioni appartenenti alla stessa categoria.
Nel gioco del 15 classico una qualunque sequenza di mosse che riporti la casella vuota nella posizione originaria comporta un riordinamento delle tessere che corrisponde in termini matematici ad una permutazione pari. La categoria dispari è invece quella cui appartiene la versione con il 14 e il 15 invertiti.

La metà di 15!

Le permutazioni pari di un certo numero (nel nostro caso 15) di oggetti sono esattamente la metà di tutte le permutazioni possibili, che sono 15!, 15 fattoriale essendo pari 1 307 674 368 000. Non importa se non sapete leggere questo numero, ciò che conta è che le combinazioni possibili sono solo 653 837 184 000, l’altra metà non è realizzabile a partire dalla configurazione corretta.

Il trucco non valido

Tuttavia se volete stupire qualcuno scommettendo che anche nella versione con il 14 e il 15 invertiti sarete capaci di mettere i numeri consecutivi nell’ordine corretto (da sinistra a destra e dall’alto in basso) da 1 a 15, senza nessun trucco come rimuovere le tessere dalla griglia, basterà lasciare lo spazio vuoto in alto a sinistra anziché in basso a destra. Questa è infatti una delle permutazioni dispari, ma è chiaramente uno stratagemma non troppo valido…

Un rompicapo difficile

Anche nella sua versione risolvibile il Gioco del 15 può però risultare particolarmente difficile. Capita spesso infatti che dopo aver ricomposto quasi tutta la sequenza l’ultima fila risulti disordinata, rendendo il successo piuttosto complicato.
Ci sono comunque alcuni stratagemmi per uscire da questo impasse, come per esempio posizionare nell’ordine il 9, poi il 15, poi il 10, il 14, l’11 e il 13 e scoprire che il 12 si sistema da solo. Oppure dividere le ultime due righe in due quadrati in cui posizionare a “L” rovesciata i numeri dal 13 al 15 e sistemare gli altri in senso orario…

La pratica

…ma in fondo è solo con la pratica che si trova la propria tecnica verso la risoluzione sempre più veloce. 

Le varianti

Il Gioco del 15 è stato commercializzato in numerose varianti. Ce ne fu una letterale in cui si doveva ricostruire la Frase “RATE YOUR MIND PAL” (metti alla prova la tua mente amico). Un’altra versione richiedeva poi di rimettere in ordine i numeri della sequenza di Fibonacci.
È interessante notare che in entrambi questi casi anche le eventuali configurazioni con le ultime tessere invertite risultano risolvibili, visto che ce n’è almeno due con lo stesso simbolo.

Check-Mate

Ideato dall’olandese William Strijbos, lo scopo di questo gioco è quello di fare scacco matto al Re nero usando i due pezzi bianchi con le consuete regole degli scacchi.

Dal puzzle all’arte

Altre versioni prevedevano poi la ricostruzione di un’immagine, fotografia o disegno, precedentemente scomposta. Questo permise anche di inserire nel puzzle loghi e sponsorizzazioni di aziende interessate a distribuire un gadget divertente.
E c’è anche chi, come l’artista Simona Cavaglieri (1974), ha realizzato opere d’arte ispirate al principio del Gioco del 15!

Versioni extra-large e app

Ne sono state realizzate anche versioni allargate con un numero maggiore di tessere e ovviamente si possono trovare on line numerosi software per riprodurre il gioco al computer e app per i telefoni.

Rate your mind pal!

Come quella che abbiamo trovato noi. Se volete mettervi alla prova cliccate qui scegliendo un livello di difficoltà adeguato!